Premium Tutor 理科家教：物理、數學、微積分: 羅必達法則（L’Hôpital’s Rule）

簡介

在 AP Calculus 中，有許多極限值（limit）等待人們去攻克，而其中有一些我們稱為「不定型」（indeterminate form），它們通常有以下的形式：

乍看之下雖然難解，但是這類型的困境有時能夠輕易化解開，比如：

可以透過代數方法，化簡後得知極限值。但有一些是無論如何做不到的，比如：

就無法輕易被代數方法處理掉。而面對這類型困境時，就是 L’Hôpital’s Rule 大顯身手的時刻：

假設 f 與 g 都是在特定區間內可微分（differentiable）的函數，當我們求取 f/g 的極限值時，若會導致 0/0, ∞/∞, -∞/∞, ∞/(-∞), (-∞)/(-∞) 等等的不定型，且 g' 不為 0，則
lim(f/g)=lim(f'/g')

換句話說，當今天待求的極限值給出了上述不定型，我們可以試著將分子、分母各自微分一次，再試試求出 limit。某些情況下，你可能會需要連續使用 L’Hôpital’s Rule 兩次或更多次。

因為此極限中的分子、分母各自都收斂到 0

所以我們需要使用 L’Hôpital’s Rule 來處理：

這個範例中，我們面對的是 ∞/∞ 的類型，因此仍然要使用 L’Hôpital’s Rule:

在這個範例中，我們討論如何處理 0·∞ 這種類型。首先要改寫成分數型態：

接著才套用 L’Hôpital’s Rule:

以上就是 L’Hôpital’s Rule 的簡介以及使用方式，但當然不僅限於這些題型，這個世界上還有很多不定型等著我們去挑戰，例如 1 的 0 次方、0 的 0 次方、∞ − ∞ 等等，都是相當具有挑戰性的題型。

如果以上教的內容你都掌握了，那你在 AP calculus 中可以拿到不錯的成績。若想要再更進一步，挑戰更多不同的類型，可以傳訊息跟我討論，或者網路上也有相當多的資源可供取用，祝你拿到 5 分 👍🏼